Radnóti-nap I. - A Monty Hall-paradoxon (Balázs Frigyes)

A korábban említett, a Radnóti-napos előadásokról szóló cikksorozat első részében Balázs Frigyes 12.c osztályos tanuló a Monty Hall-paradoxonról (angolul Monty Hall problem) szóló prezentációjának bemutatására kerül sor.

Elsőként a paradoxonok világába nyerhettünk egy rövid általános betekintést, amelynek keretében több ilyen logikai konstrukció is említésre került, így például a filozófiában és a teológiában előkerülő mindenhatósági paradoxon(ok), amelyet az előadó egy, a többek számára jól ismert „agresszív kismalac” karakterével kapcsolatos viccel mutatott be, miszerint a jótündér odamegy az agresszív kismalachoz, és két kívánság lehetőségét ajánlja neki. Az él ezzel és először azt kívánja a tündértől, hogy rakjon le egy olyan követ, amelyet senki nem tud elmozdítani. A tündér csodálkozik ugyan a kérésen, de megteszi. Az agresszív kismalac ezt követően második kívánságával azt kéri a tündértől, hogy mozdítsa el ezt a követ. Ebben az ellentmondás az, hogy egy mindenható entitás képes egy olyan dolgot tenni, amelyet senki nem tud megváltoztatni, még ő maga sem, így már nem mindenható.

Felmerült továbbá a Russell-paradoxon is, mint a valódi ellentmondást tartalmazó paradoxonok egyik példája. Ez az ellentmondás egy halmazelméleti probléma, viszont a prezentáló erre is egy valamelyest könnyebben emészthető formát talált, az úgynevezett „borbély-paradoxon” nevű feladatot. Ennek a formája a következő: „Tegyük fel, hogy a laktanya katonai borbélya a szolgálati szabályzatnak megfelelően azokat a katonákat köteles borotválni, akik maguk nem borotválkoznak, de nem borotválhatja azokat, akik maguk borotválkoznak. Kérdés: önmagát megborotválhatja-e?” Ezzel az a probléma, hogy ha a borbély megborotválhatja magát, akkor ellentmondásba ütközünk, hiszen a katonai borbély a szabályzat szerint nem borotválhatja meg azokat, akik magukat borotválják. Abban az esetben, ha a borbély nem borotválja meg magát, szintén ellentmondás lép fel, hiszen akkor meg kellene borotválni magát, mivel a katonai borbély kötelessége megborotválni azokat, akik nem borotválkoznak.

Két, a prezentáció készítője által felhasznált mém a Russell-paradoxonról

Amíg az előbb említett Russell-paradoxon egy valódi ellentmondást tartalmaz, a „születésnap paradoxon” valójában csupán egy látszólagos paradoxon, ugyanis a következtetése helyes, még ha meglepő is. Mit is mond ez azonban pontosan? A születésnap paradoxon lényege röviden az, hogy amennyiben egy szobában 23 ember van, annak esélye, hogy kettejük születésnapja egy napon van, nagyjából 50%-nak felel meg. Mindazonáltal, ha ennél valamivel több, mint kétszer annyi, mégpedig 58 személy tartózkodik a helyiségben, akkor ez már 99% lesz.

A születésnap paradoxon ábrázolása

Ezen felül szép számmal vannak hibásan levezetett paradoxonok is, amelyekből két példát láthattunk.

Hibásan levezetett paradoxonok

A bal oldali esetben a hiba a 0-val való osztás a negyedik egyenlet után, amelyet a piros szín is mutat. Mivel a=b, ezért ha a-b-vel osztunk, akkor valójában 0-val tesszük ezt, hiszen két egyenlő számot egymásból kivonva az eredmény 0. A jobb oldalon látható ábrán a megtévesztés az, hogy a piros és a sárga háromszögek valójában nem hasonlóak, szögeik nem teljesen egyenlőek, így a két képen valójában két nagyon enyhén, de konkáv (felső kép), valamint konvex (alsó kép) négyszöget ábrázol, amelyek területének különbsége pontosan megfelel egy négyzet területének.
 
Mindezek után térjünk is rá magára a Monty Hall-paradoxonra, amely az előbb említett típusok közül a másodikba tartozik, azaz nem tartalmaz valódi ellentmondást, de meglepő következtetésre juthatunk általa.

A Monty Hall-paradoxon leírása az előadó által

A fenti képen látható a Monty Hall-paradoxon leírása az előadó által, mindazonáltal még egyszer leírom az összefoglaló szövegét itt is: arról van tehát szó, hogy egy vetélkedőben vesz részt egy alany, amelynek keretében három csukott ajtó közül lehet választani. A három ajtó közül kettő mögött egy kecske, egy mögött pedig egy autó van. Miután a játékos kiválasztotta az egyik ajtót (a képen piros kerettel jelölt), a játékvezető kinyit egy másik ajtót, amely mögött egy kecske van és felajánlja a lehetőséget a játékosnak arra, hogy megváltoztassa döntését arról, hogy melyik ajtó mellett dönt. Vajon megéri-e módosítania a döntésén a vetélkedőben részt vevőnek?
 
Mielőtt megadta volna a megoldást, a prezentáló egy játékra invitálta a megtekintőket, amely az alább leírt feltételekhez hasonlókkal működött. A játék pontos szabályai alább olvashatók:

Ennek egy változatát az előadó is kipróbálta, amelynek az eredménye egybeesett a távolról tartott előadás során végrehajtott játék eredményével, amely a paradoxon megoldását mutatja (habár érdemes kihangsúlyozni, amint azt a prezentáló meg is tette, hogy ez önmagában csupán egy érzést nyújthat, a statisztikailag helytálló bizonyításhoz ennél sokkal több próbálkozás lenne szükséges): ez pedig nem más, mint az, hogy érdemes módosítani az első választáson. De pontosan miért is van ez? Ez egy fontos kérdés, és több módja is van a bizonyításnak.

Egy lehetőség az, ha végig gondoljuk a problémát. Amikor először lehet választani az ajtók közül, akkor 1/3 esély van arra, hogy a „jó” megoldásra mutat az alany, azaz az autó van az ajtó mögött, mivel a három nyeremény közül kettő kecske és egy autó. Mindazonáltal miután a játékvezető felfedi azt, hogy egy másik ajtó mögött egy kecske van, annak az esélye, hogy az autó a játékos által választott ajtó mögött van, továbbra is 1/3 marad (hiszen kezdetben is annyi volt, és a nyeremények száma és aránya nem változott, csupán az egyiknek a helyét tudjuk), viszont a harmadik ajtó esetében ez 2/3-ra növekszik, mivel tudjuk, hogy a második ajtó mögött nincsen az autó, és a választott ajtónál 1/3 esélyünk volt a „jó” megoldásra. Így megéri váltani, mivel az autó megszerzésére irányuló esélyeket így tudja maximalizálni a játékos, amennyiben ez a célja.  

A Monty Hall-paradoxon megoldásának néhány illusztrációja

A megoldást egy táblázattal is ábrázolhatjuk:

A Monty Hall-paradoxon megoldásának táblázatos módja. Fontos megjegyezni, hogy az 1., 2. és 3. sorszámok ebben az esetben nem feltétlenül a bal oldali, középső, valamint jobb oldali ajtókat jelölik: az 1.-es sorszám azt mutatja, hogy arra az ajtóra mutatott rá a játékos.

A táblázatban is megfigyelhető, hogy a maradás a három esetből egyszer, a váltás három esetből kétszer éri meg, ennek megfelelően váltani érdemes.

Emellett azonban lehet még több módon is bizonyítani; a módszerek közül még egyet vett számba az előadó. Ez nem más, minthogy lényegét tekintve ugyanezt a kérdést tesszük fel (megéri-e váltani, vagy sem), csak sokkal több ajtó van, például 100. A 100 ajtóból 1 mögött található autó a többi 99 mögött egy kecske rejtőzik. Ebben az esetben is választ az alany egy ajtót, majd a játékvezető felnyit 98-at, amelyek mögött mind kecske van. Ilyenkor az esetek 99 százalékában megéri váltani, mivel az elején 1/100 esély volt arra, hogy a játékos a jó ajtót találja el, ennek megfelelően annak a valószínűsége, hogy az autó a fennmaradt ajtó mögött található, 99 százalékkal egyenértékű.

Teljesen természetes az, ha ezek után még nincs teljesen meggyőzve a kedves olvasó. Amikor 1990-ben a Parade magazin Ask Marylin nevű rovatában megjelent a helyes levezetés, több ezer olvasó írt levelet, azt állítva, hogy ez helytelen, sokszor indoklás nélkül, némely esetben igen tiszteletlen stílusban. Mi több, közöttük matematikusok is megtalálhatóak voltak, ráadásul nem egy a tiltakozók köréből PhD fokozattal is rendelkező volt. Néhány példa található alább a prezentációból:
„May I suggest you that you refer to a standard textbook on probability before you try to answer a question of this type again?” -> „Ajánlhatom önnek, hogy legközelebb, amikor egy ilyen kérdésre próbál válaszolni, használjon egy általános tankönyvet a valószínűségszámításról?
„You are the goat!” -> „Te vagy a kecske!”
„I am sure you will receive many letters on this topic from high school and college students. Perhaps you should keep a few addresses for help with future columns.” -> „Biztos vagyok benne, hogy sok levelet fog kapni középiskolásoktól és hallgatóktól a témában. Talán meg kellene tartania néhány címet a jövőbeli rovatokhoz segítségként.”
„You made a mistake, but look at the positive side. If all those Ph.D.’s were wrong, the country would be in some serious trouble.” -> „Hibát követett el, de nézze a jó oldalát. Ha az összes Ph.D. fokozattal rendelkező hibázott volna, az országnak igen súlyos problémái lennének.”
„You blew it, and you blew it big! Since you seem to have difficulty grasping the basic principle at work here, I’ll explain. After the host reveals a goat, you now have a one-in-two chance of being correct. Whether you change your selection or not the odds are the same. There is enough mathematical illiteracy in this country, and we don’t need the world’s highest IQ propagating more. Shame!” -> „Ezt elrontotta, mégpedig nagyon! Mivel úgy tűnik, hogy problémái vannak az itt felmerülő alapvető elv megértésével, elmagyarázom. Miután a műsorvezető megmutat egy kecskét, egyenlő esélye van a helyes megoldás mellett döntésre. Mindegy, hogy megváltoztatja-e a választását, vagy sem, az esélyek ugyanakkorák. Elég matematikai analfabetizmus van ebben az országban és nincs szükségünk arra, hogy a világ legmagasabb IQ-jával rendelkezők tovább terjesszék. Szégyen!”

A fentebb idézett üzenetek mindegyikét matematikai végzettséggel bírók, matematikatanárok írták és a „You are the goat!”-megjegyzés kivételével mindegyik levélírónak PhD fokozata volt.

Zárásképpen egy érdekes tény, hogy egy, a Monty Hall-paradoxonnak megfelelő kísérletet galambokkal is elvégeztek, amely során arra voltak kíváncsiak a kutatók, hogy a galambok milyen gyakorisággal váltanak. Több napon keresztül folytatták az eljárást, amely nagyvonalakban abból állt, hogy a galambok három gomb elé lettek helyezve, amelyek közül egyet „választottak”, majd pedig felvillant az a gomb, amelyet eredetileg választottak, valamint egy másik gomb. Amennyiben a „jó” gombot választották, élelmet kaptak, amely ebben az esetben az autót jelképezte. Az első nap a galamboknak csupán egy kisebb része változtatott a második esetben, azonban a 30. napra már nagyjából 95 százalékuk a másik gombra nyomott. Ez együtt járt azzal, hogy az első nap az élelemnek valamivel kevesebb, mint 50 százalékát, a harmincadik nap azonban már körülbelül 65 százalékát szerezték meg, amely nagyjából megfelel a Monty Hall-paradoxon megoldásával egyenlő 66,666 ̇... százaléknak.

Az előadás itt ugyan véget ért, de további érdekesség, hogy az emberek esetében a hasonló kísérletek eredménye, amelyek keretében 200 próbára került sor, hasonló szabályokkal, az volt, hogy a próbák végére csupán mintegy 65 százalékban jelentkezett a változtatás. Ugyan az emberek jóval kevesebb próbát végeztek el, mint a galambok, viszont a galamboknál több gyakorlásra van szükség, mivel nem lehet szóbeli instrukciókat adni számukra és próbákon keresztül kell tanulniuk. Egy másik szempontból nézve az emberek esetében 200 próba már elég ahhoz, hogy lassú tanulási formák is megjelenjenek, ezzel szemben azonban az utolsó 50 próba esetén már nem változott számottevően a váltási arány (Herbranson 2012).

Miért lehet ez? Nos, több lehetőség is felmerült. Az első az lehet, hogy az alapvető feltételezés az, hogy mivel két lehetőség közül lehet választani, ezért 50-50% az esélye annak, hogy változtatni, vagy maradni érdemes. Ez azonban nem magyarázza meg például azt, hogy az emberek eleinte túlnyomó részben a maradás mellett döntenek. Erre egy lehetséges megfejtés lehet például az, hogy az embereknél fellép egy úgynevezett „elkötelezettségi hatás (endowment effect)” (a fordítás: Fenyővári 2004). Ez például olyankor érhető tetten, amikor valaki több pénzt kér el egy tárgyért, amelyről azt mondják, hogy az övé, mint amennyit fizetnének érte, ha nem lenne az övék. (Zentall, Case & Collins 2015). Ez úgy tartozik ehhez a jelenséghez, hogy az embereknél lehetséges egyfajta sajnálat abban az esetben, ha váltanak az eredeti választásról és vesztenek, amely sajnálat nagyobb ebben az esetben, mintha úgy vesztettek volna, hogy maradtak. Ennek alapján lehetséges, hogy az emberek valamennyire „tulajdonuknak” érzik eredeti döntésüket és fellép az elkötelezettségi hatás. További lehetőség az, hogy van egy bizonyos szintű „kontrollillúzió”, azaz az emberek úgy vélik, hogy van befolyásuk véletlenszerű események fölött.

Összefoglalva, a Monty Hall-paradoxon amellett, hogy egy érdekes matematikai, statisztikai probléma, több pszichológiai és egyéb kérdést is felvet. A fentebbi ismertetés természetesen nem tekinthető teljes értékű tudományos bemutatásnak; amennyiben valaki valami hasonló iránt érdeklődne, ajánlhatom Szabó László Kalandozások a diszkrét matematikában című egyetemi jegyzetének 172-178. oldalát (Szabó 2017) Köszönjük Balázs Frigyes 12.c osztályos tanulónak a remek prezentációt! Az előadás végén összegyűjtött mémekkel búcsúzunk.

Felhasznált irodalom

Balázs, F 2020, A Monty Hall-paradoxon [Prezentáció]
Fenyővári, Zs 2004, Fogyasztói racionalitás és versenyszabályozás, Ebben: Czagány L. – Garai L. (szerk.): A szociális identitás, az információ és a piac. SZTE Gazdaságtudományi Kar Közleményei 2004. JATEPress, Szeged, 316-326. o.
Herbranson, T. W. 2012, Pigeons, Humans and the Monty Hall Dilemma, Current Directions in Psychological Science [Online] XX(X) 1-5. Elérhető innen: DOI:10.1177/0963721412453585 [Hozzáférés dátuma: 2021. 01. 29.]
Szabó, L 2017, Kalandozások a diszkrét matematikában, Eötvös Loránd Tudományegyetem, Informatikai Kar. Elérhető innen: [Hozzáférés dátuma: 2021. 01. 30.]
Zentall, T. R., Case J. P., & Collins, T. L. The Monty Hall dilemma with pigeons: No, you choose for me. Learn Behav 43, 209-216 (2015). Elérhető innen: https://doi.org/10.3758/s13420-015-0172-3